Question

 本題有3小題，第1小題5分，第2小題5分，第3小題9分．

已知定義在上的函數和數列滿足下列條件：

    ，，當且時，且．

其中、均為非零常數．

（1）若數列是等差數列，求的值；

（2）令，若，求數列的通項公式；

（3）試研究數列為等比數列的條件，并證明你的結論．

說明：對于第3小題，將根據寫出的條件所體現的對問題探究的完整性，給予不同的評分。

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）由已知，，得

 

由數列是等差數列，得

所以，，，得．………………………5分

（2）由，可得

且當時，

所以，當時，

，………………………4分

因此，數列是一個公比為的等比數列．…………………………………………1分

（3）解答一：寫出必要條件，如，由（1）知，當時，數列是等差數列，

所以是數列為等比數列的必要條件． ………………………………3分

解答二：寫出充分條件，如或等，并證明 ……………… 5分

解答三：是等比數列的充要條件是……………………2分

充分性證明：

若，則由已知，得

所以，是等比數列．……………………………………………………………2分

必要性證明：若是等比數列，由（2）知，

，

． …………………………………………1分

當時，．

上式對也成立，所以，數列的通項公式為：

．

所以，當時，數列是以為首項，為公差的等差數列．

所以，．……………………………………………………………………1分

當時，．  

上式對也成立，所以，

……………………1分

所以，．  …………………………………………1分

即，等式對于任意實數均成立．

所以，．……………………………………………………………1分