Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a•{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f（f（x））=0有且只有一個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，0]∪（0，1）
• C． （-∞，0）∪（0，1]
• D． （-∞，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 對a討論，分a=0，a＞0，a＜0，三種情況，運(yùn)用換元法，令t=f（x），f（f（x））=0即為f（t）=0，討論函數(shù)f（x）在x＞0和x≤0的值域，結(jié)合條件有且只有一個實(shí)數(shù)解，分析即可得到a的范圍．

解答 解：令f（x）=t，方程f（f（x））=0有且只有一個實(shí)數(shù)解?f（t）=0有且只有一個實(shí)數(shù)解．
①當(dāng)a=0時．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a•{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$的圖象如圖（1）；
f（t）=0⇒t=1或t≤0，即f（x）=t=1，或f（x）=t≤0，由無數(shù)個解，不符合題意．
②當(dāng)a＞0時．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a•{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$的圖象如圖（2）；
f（t）=0⇒t=1，要使f（x）=t=1有且只有一個實(shí)數(shù)解，結(jié)合圖象可得a＜1，
即0＜a＜1符合題意．
②當(dāng)a＜0時．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a•{2}^{x}，x≤0}\\{lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$的圖象如圖（3）；
f（t）=0⇒t=1，要使f（x）=t=1有且只有一個實(shí)數(shù)解，結(jié)合圖象可得a＜0都成立．
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）∪（-∞，0），
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系，運(yùn)用分類討論的思想和函數(shù)的值域是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題