(選修4-2 矩陣與變換)
變換T是將平面上每個點M(x,y)的橫坐標乘2,縱坐標乘4,變到點M'(2x,4y).
(Ⅰ)求變換T的矩陣;
(Ⅱ)圓C:x2+y2=1在變換T的作用下變成了什么圖形?
分析:(I)伸壓變換矩陣的一般形式是
k  0
0  m
,(k、m是正數(shù)),其中將橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍、縱坐標變?yōu)樵瓉淼膍倍,由此結(jié)合題意則不難得到所求變換T的矩陣;
(II)用
1
2
x
代替x,
1
4
y
代替y,代入圓C的方程化簡整理,即可得到變換后的方程,進而得到圓C在變換T的作用下變成的圖形.
解答:解:(Ⅰ)由已知,得
T:
x
y
x′
y′
=
2x
4y
=
2  0
0  4
x
y

∴變換T的矩陣是
2  0
0  4
…(3分)
(Ⅱ)由x'=2x,y'=4y,得:x=
1
2
x′,y=
1
4
y′
,
代入方程x2+y2=1,得:
1
4
x2+
1
16
y2=1

∴圓C:x2+y2=1在變換T的作用下變成了橢圓
x2
4
+
y2
16
=1
…(7分)
點評:本題以伸壓變換為例,求單位圓在矩陣T的作出下變換成的圖形,著重考查了圓的方程、橢圓的標準方程和幾種特殊的矩陣變換的知識點,屬于基礎(chǔ)題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(“選修4-2矩陣與變換”)
已知y=f(x)的圖象(如圖1)經(jīng)A=
.
ab
cd
.
作用后變換為曲線C(如圖2).
(Ⅰ)求矩陣A;
(Ⅱ)求矩陣A的特征值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)(選修4-2 矩陣與變換)已知矩陣A=
12
-14
,向量
α
=
7
4

①求矩陣A的特征值λ1、λ2和特征向量
α1
α2
;
②求A5
α
的值.
(2)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程求極坐標系中,圓ρ=2上的點到直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=6
的距離的最小值.
(3)選修4-5;不等式選講知x,y,z為正實數(shù),且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1,求x+4y+9z的最小值及取得最小值時x,y,z的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•鹽城二模)選修4-2  矩陣與變換
已知矩陣M=
12
2x
的一個特征值為3,求另一個特征值及其對應的一個特征向量.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(1)選修4-2矩陣與變換:
已知矩陣M=
.
2a
21
.
,其中a∈R,若點P(1,-2)在矩陣M的變換下得到點P′(-4,0).
①求實數(shù)a的值;
②求矩陣M的特征值及其對應的特征向量.
(2)選修4-4參數(shù)方程與極坐標:
已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是
x=
2
2
t+m
y=
2
2
t
(t是參數(shù)).若l與C相交于AB兩點,且AB=
14

①求圓的普通方程,并求出圓心與半徑;
②求實數(shù)m的值.

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