（“選修4-2矩陣與變換”）
已知y=f（x）的圖象（如圖1）經(jīng)A=
.
ab
cd
.
作用后變換為曲線C（如圖2）．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）求矩陣A的特征值．
分析：（Ⅰ）由于y=f（x）的圖象上的點(diǎn)（π，0）變換后為（
π
2
，0），點(diǎn)（
π
2
，1）變換后為（
π
4
，1），根據(jù)矩陣變換特點(diǎn)，寫出兩對(duì)坐標(biāo)之間的關(guān)系，解出方程，即可得到矩陣．
（Ⅱ）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令f（λ）=0解方程可得特征值．
解答：解：（Ⅰ） 由于y=f（x）的圖象上的點(diǎn)（π，0）經(jīng)A=
.
ab
cd
.
作用后變換為（
π
2
，0），
∴
ab
cd
π 
0 
=
π
2
 
0 
  解得 a=
1
2
，c=0，
由于y=f（x）的圖象上的點(diǎn)（
π
2
，1）經(jīng)A=
.
ab
cd
.
作用后變換為為（
π
4
，1），
∴
1
2
b
0d
π
2
 
1 
=
π
4
 
1 
  解得 b=0，d=1，
∴A=
1
2
0
01
；
（Ⅱ）由題意得
.
λ-
1
2
0
0λ-1
.
=0
∴（λ-
1
2
）（λ-1）=0，
解得λ=
1
2
或λ=1
∴矩陣A的特征值是
1
2
與1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了特征值與特征向量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（選修4-2 矩陣與變換）
變換T是將平面上每個(gè)點(diǎn)M（x，y）的橫坐標(biāo)乘2，縱坐標(biāo)乘4，變到點(diǎn)M'（2x，4y）．
（Ⅰ）求變換T的矩陣；
（Ⅱ）圓C：x2+y2=1在變換T的作用下變成了什么圖形？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）（選修4-2 矩陣與變換）已知矩陣A=
12
-14
，向量
α
=
7
4
．
①求矩陣A的特征值λ1、λ2和特征向量
α1
、
α2
；
②求A5
α
的值．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程求極坐標(biāo)系中，圓ρ=2上的點(diǎn)到直線ρ(cosθ+
3
sinθ)=6的距離的最小值．
（3）選修4-5；不等式選講知x，y，z為正實(shí)數(shù)，且
1
x
+
1
y
+
1
z
=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值時(shí)x，y，z的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•鹽城二模）選修4-2  矩陣與變換
已知矩陣M=
12
2x
的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）選修4-2矩陣與變換：
已知矩陣M=
.
2a
21
.
，其中a∈R，若點(diǎn)P（1，-2）在矩陣M的變換下得到點(diǎn)P′（-4，0）．
①求實(shí)數(shù)a的值；
②求矩陣M的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量．
（2）選修4-4參數(shù)方程與極坐標(biāo)：
已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是
x=
2
2
t+m
y=
2
2
t
（t是參數(shù)）．若l與C相交于AB兩點(diǎn)，且AB=
14
．
①求圓的普通方程，并求出圓心與半徑；
②求實(shí)數(shù)m的值．

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