Question

6．在如圖所示的幾何體中，平面ADNM⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，$∠DAB=\frac{π}{3}$，AB=2，AM=1，E是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面DEM⊥平面ABM；
（2）在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使二面角P-EC-D的大小為$\frac{π}{4}$？若存在，求出AP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出DE⊥CD，ND⊥AD，從而ND⊥DE，進(jìn)而DE⊥平面NDC，由此能證明平面MAE⊥平面NDC．
（2）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，求出平面PEC的一個(gè)法向量、平面ECD的法向量．利用向量的夾角公式，建立方程，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵ABCD是菱形，∴AD=AB，∵∠DAB=60°，∴△ABD為等邊三角形，
E為AB中點(diǎn)，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，
∵ADMN是矩形，∴ND⊥AD，
又平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，
∴ND⊥平面ABCD，∴ND⊥DE，
∵CD∩ND=D，∴DE⊥平面NDC，
∵DE?平面MDE，∴平面MDE⊥平面NDC．
因?yàn)槊鍭BM∥面NDC，∴平面DEM⊥平面ABM；
（2）解：設(shè)存在P符合題意．
由（Ⅰ）知，DE、DC、DN兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz（如圖），
則D（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，-1，0），E（$\sqrt{3}$，0，0），C（0，2，0），P（$\sqrt{3}$，-1，h）（0≤h≤1）．
∴$\overrightarrow{EP}$=（0，-1，h），$\overrightarrow{EC}$=（-$\sqrt{3}$，2，0），設(shè)平面PEC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=-y+hz=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=-\sqrt{3}x+2y=0}\end{array}\right.$令x=2h，則平面PEC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（2h，$\sqrt{3}$h，$\sqrt{3}$） 
取平面ECD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
cos45°=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7{h}^{2}+3}}$，解得h=$\frac{\sqrt{21}}{7}$∈[0，1]，
即存在點(diǎn)P，使二面角P-EC-D的大小為$\frac{π}{4}$，此時(shí)AP=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直，考查二面角，考查向量法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題