Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+2|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若?x∈R，f（x）+t³+2t≥0恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+4，x≥2\\ 3x，-1＜x＜2\\-x-4，x≤-1\end{array}\right.$，分類討論，求得f（x）＞2的解集．
（2）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值為f（-1）=-3，可得t³+2t-3≥0，即可求得實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=|2x+2|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}x+4，x≥2\\ 3x，-1＜x＜2\\-x-4，x≤-1\end{array}\right.$
當(dāng)x≤-1時，不等式即-x-4＜0，求得x＞-4，∴-4＜x≤-1．
當(dāng)-1＜x＜2時，不等式即3x＜0，求得x＜0，∴-1＜x＜0．
當(dāng)x≥2時，不等式即x+4＜0，求得x＜-4，不成立．
綜上所述，f（x）＜0的解集為（-4，0）．
（2）由（1）知，f（x）最小值為-3，∴t³+2t-3≥0
∴（t-1）（t²+t+3）≥0，又∵t²+t+3＞0恒成立，
∴t≥1．

點評 主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．