Question

14．如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，Q是棱PA上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若Q是PA的中點(diǎn)，求證：PC∥平面BDQ；
（2）若PB=PD，求證：BD⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）連接AC交BD于O，由底面ABCD是菱形，可得O為AC的中點(diǎn)，又Q是PA的中點(diǎn)，得OQ∥PC，由線面平行的判定得PC∥平面BDQ；
（2）由底面ABCD是菱形，得BD⊥AC，結(jié)合PB=PD，得PO⊥BD，由線面垂直的判定得BD⊥平面PAC．

解答 證明：（1）如圖，
連接AC交BD于O，∵底面ABCD是菱形，
∴O為AC的中點(diǎn)，連接QO，
∵Q是PA的中點(diǎn)，∴OQ∥PC，
又PC?平面BDQ，OQ?平面BDQ，
∴PC∥平面BDQ；
（2）∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又PB=PD，O為BD的中點(diǎn)，∴PO⊥BD，
又PO∩AC=O，
∴BD⊥平面PAC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行、直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．