Question

7．若變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}2x+y-2\;≥\;0\;\\ x+y-2\;≤\;0\;\\ x-y\;≥\;0\;\end{array}\right.$則$\frac{y}{2x+1}$的最大值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，再由$\frac{y}{2x+1}$的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與定點P（$-\frac{1}{2}$，0）連線的斜率的一半求解．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}2x+y-2\;≥\;0\;\\ x+y-2\;≤\;0\;\\ x-y\;≥\;0\;\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1）．
由$\frac{y}{2x+1}$=$\frac{1}{2}•\frac{y-0}{x-（-\frac{1}{2}）}$，
而$\frac{y-0}{x-（-\frac{1}{2}）}$的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點P（$-\frac{1}{2}$，0）連線的斜率．
且${k}_{PA}=\frac{1-0}{1-（-\frac{1}{2}）}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{y}{2x+1}$的最大值為$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．