Question

如圖，M是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中點(diǎn)，給出下列命題
①過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都相交；
②過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直；
③過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都相交；
④過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都平行．
其中真命題是

1. A.
   ②③④
2. B.
   ①③④
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①②③

Answer 1

C
分析：點(diǎn)M不在這兩異面直線中的任何一條上，所以，過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都相交，①正確．
②過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直，正確．
過(guò)M點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都相交，③不正確．
④過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都平行，正確．
解答：直線AB與B₁C₁ 是兩條互相垂直的異面直線，點(diǎn)M不在這兩異面直線中的任何一條上，如圖所示：
取C₁C的中點(diǎn)N，則MN∥AB，且 MN=AB，設(shè)BN 與B₁C₁交于H，則點(diǎn) A、B、M、N、H 共面，
直線HM必與AB直線相交于某點(diǎn)O．

所以，過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線HO與直線AB、B₁C₁都相交；故①正確．
過(guò)M點(diǎn)有且只有一條直線與直線AB、B₁C₁都垂直，此垂線就是棱DD₁，故②正確．
過(guò)M點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都相交，故 ③不正確．
過(guò)M點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與直線AB、B₁C₁都平行，此平面就是過(guò)M點(diǎn)與正方體的上下底都平行的平面，故④正確．
綜上，①②④正確，③不正確，
故選 C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查立體幾何圖形中直線和平面的相交、平行、垂直的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．