Question

18．已知橢圓G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的短軸端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F₂（1，0）的距離為2，平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓G上．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）若直線AB和AD的斜率存在且分別為k₁，k₂，證明：k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）當(dāng)直線AB和DC分別過橢圓G的左焦點(diǎn)F₁和右焦點(diǎn)F₂時(shí)，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：c=1，a=2，則b²=a²-c²=3，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）由B，D關(guān)于O對(duì)稱，設(shè)BD的方程y=kx，A（m，n），B（x₀，kx₀），D（-x₀，-kx₀），利用直線的斜率公式，即可求得k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）分類討論，當(dāng)AD所在直線與x軸垂直時(shí)，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得四邊形ABCD面積，當(dāng)AD所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理求得丨AD丨，利用兩平行線之間的關(guān)系求得d，根據(jù)平行四邊形的面積公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得四邊形ABCD面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知c=1，a=2，則b²=a²-c²=3，
∴橢圓G的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）證明：由平行四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓G上，則B，D關(guān)于O對(duì)稱，
設(shè)BD的方程y=kx，A（m，n），B（x₀，kx₀），D（-x₀，-kx₀），橢圓的方程：3x²+4y²=12，
則3m²+4n²=12，3x₀²+4k²x₀²=12，
3（m²-x₀²）=4（k²x₀²-n²），
則k₁=$\frac{k{x}_{0}-n}{{x}_{0}-m}$，k₂=$\frac{-k{x}_{0}-n}{-{x}_{0}-m}$，
∴k₁•k₂=$\frac{k{x}_{0}-n}{{x}_{0}-m}$×$\frac{-k{x}_{0}-n}{-{x}_{0}-m}$=$\frac{{n}^{2}-{k}^{2}{x}_{0}^{2}}{{m}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴k₁•k₂為定值-$\frac{3}{4}$；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：橢圓的左焦點(diǎn)F₁（-1，0），橢圓的左焦點(diǎn)F₂（1，0），
當(dāng)AD所在直線與x軸垂直時(shí)，則AD所在直線方程為x=1，代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，得y=±$\frac{3}{2}$，
∴平行四邊形ABCD的面積S=2×3=6；
當(dāng)AD所在直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y=k（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．
設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4×\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
兩條平行線間的距離d=$\frac{丨-2k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴平行四邊形ABCD的面積S=丨AD丨×d=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$×$\frac{丨-2k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=24$\sqrt{\frac{{k}^{4}+{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$=24$\sqrt{\frac{\frac{1}{16}（3+4{k}^{2}）^{2}-\frac{1}{8}（3+4{k}^{2}）-\frac{3}{16}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，???
=24$\sqrt{-\frac{3}{16}（\frac{1}{3+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{1}{8}×\frac{1}{3+4{k}^{2}}+\frac{1}{16}}$，
由k²＞0，3+4k²＞3，0＜$\frac{1}{3+4{k}^{2}}$＜$\frac{1}{3}$，
設(shè)g（t）=-$\frac{3}{16}$t²-$\frac{1}{8}$t+$\frac{1}{16}$，由g（t）在（0，$\frac{1}{3}$）單調(diào)遞減，
∴0＜g（t）＜$\frac{1}{16}$
∴S=24$\sqrt{-\frac{3}{16}（\frac{1}{3+4{k}^{2}}）^{2}-\frac{1}{8}×\frac{1}{3+4{k}^{2}}+\frac{1}{16}}$＜24×$\frac{1}{4}$=6，
綜上，平行四邊形ABCD面積的最大值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，二次函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．