Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）若b_n=a_n+log₂$\frac{1}{a_n}$，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由2，a_n，S_n成等差數(shù)列．可得2a_n=S_n+2．利用遞推關(guān)系可得：a_n=2a_n-1．即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=2ⁿ．可得b_n=a_n+log₂$\frac{1}{a_n}$=2ⁿ-n，再利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵2，a_n，S_n成等差數(shù)列．∴2a_n=S_n+2．
n=1時(shí)，2a₁=a₁+2，解得a₁=2．
n≥2時(shí)，2a_n-1=S_n-1+2．
可得2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為2．
（2）解：由（1）可得：a_n=2ⁿ．
∴b_n=a_n+log₂$\frac{1}{a_n}$=2ⁿ-n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=（2+2²+…+2ⁿ）-（1+2+…+n）
=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（n+1）}{2}$
=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．