Question

15．已知函數f（x）在實數集R上具有下列性質：
①直線x=1是函數f（x）的一條對稱軸；
②f（x+2）=-f（x）；
③當1≤x₁＜x₂≤3時，[f（x₂）-f（x₁）]•（x₂-x₁）＜0，
則f（2 015）、f（2 016）、f（2 017）從大到小的順序為f（2017）＞f（2016）＞f（2015）．

Answer 1

分析 由①得f（-x+1）=f（x+1）；由②可求得f（x）的周期；由③可判斷f（x）在[1，3]上的單調性．運用函數周期性及f（-x+1）=f（x+1）可把f（2015）、f（2016）、
f（2017）轉化到區(qū)間[1，3]上處理，再利用單調性即可作出比較．

解答 解：由②f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），所以f（x）為以4為周期的函數．
由③知：f（x）在[1，3]上為減函數，由①得，f（-x+1）=f（x+1），
所以f（2015）=f（4×503+3）=f（3），f（2016）=f（4×504）=f（0）=f（-1+1）=f（1+1）=f（2），f（2017）=f（4×504+1）=f（1），
因為f（x）在[1，3]上為減函數，所以f（1）＞f（2）＞f（3），即f（2017）＞f（2016）＞f（2015），
故答案為：f（2017）＞f（2016）＞f（2015）

點評 本題考查函數的奇偶性、單調性、周期性及其應用，準確理解相關定義及其變形是解決本題的基礎，解決本題的基本思路利用性質把問題轉化到區(qū)間[1，3]上解決，屬于中檔題．