Question

13．已知△ABC三邊分別為a，b，c，且a²+c²=b²+ac，則邊b所對應的角B大小為60°；此時，如果AC=2$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的最大值為6+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 ①利用余弦定理，即可求出角B的大��；
②利用正弦定理求出c=4sinC，從而寫出$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$，再利用三角恒等變換以及角C的取值范圍，求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值．

解答 解：①△ABC中，a²+c²=b²+ac，
∴a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
又B∈（0°，180°），
∴B=60°；
②由AC=b=2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{c}{sinC}$=$\frac{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4，
∴c=4sinC；
∴$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=cb•cosA
=2$\sqrt{3}$c•cosA
=2$\sqrt{3}$×4sinC•cosA
=8$\sqrt{3}$sinCcos（120°-C）
=8$\sqrt{3}$sinC（-$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC）
=-4$\sqrt{3}$sinCcosC+12sin²C
=-2$\sqrt{3}$sin2C+12×$\frac{1-cos2C}{2}$
=-2$\sqrt{3}$sin2C-6cos2C+6
=-4$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sin2C+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2C）+6
=-4$\sqrt{3}$sin（2C+60°）+6；
又C∈（0°，120°），
∴2C+60°∈（60°，300°），
∴當2C+60°=270°，即C=105°時，
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$取得最大值為-4$\sqrt{3}$×（-1）+6=4$\sqrt{3}$+6．
故答案為：60°，4$\sqrt{3}$+6．

點評 本題考查了正弦、余弦定理的應用問題，也考查了三角恒等變換的應用問題，是綜合性題目．