Question

已知二項(xiàng)式（2+x）ⁿ的展開式中，x³的系數(shù)為160，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為

64

．

Answer 1

分析：先寫出展開式的 通項(xiàng)，令x的指數(shù)為3求出展開式中x³的系數(shù)．，結(jié)合系數(shù)的特點(diǎn)可討論求解滿足題意的n，然后代入通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0，可求

解答：解：∵（2+x）ⁿ的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=

C

r n

2n-rxr
令r=3可得，T4=

C

3 n

2n-3x3
∴

C

3 n

2n-3=160
即

n(n-1)(n-2)

6

2n-3=160
∴n（n-1）（n-2）•2^n-3=2⁶×5×3=960
結(jié)合式子兩邊的特點(diǎn)可知，n（n-1）（n-2）一定是5的倍數(shù)
當(dāng)n=5時(shí)，左邊60•2³≠2⁶×15=右面，舍去
當(dāng)n-1=5即n=6時(shí)，左邊=120•2³=960=右面，符合題意
當(dāng)n-2=5即n=7時(shí)，左邊=210×2⁴≠960，不符合題意
綜上可得，n=6
令r=0可得，常數(shù)項(xiàng)為

C

0 n

2n=2⁶=64，
故答案為64

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．