【題目】已知函數(shù).

(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線;

(2)若函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)設(shè)函數(shù),若在上至少存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1) ;(2)(3).

【解析】

試題分析:(1) 當(dāng)時(shí),,求導(dǎo),由求出切線斜率及點(diǎn),即可求出切線方程;(2)在定義域區(qū)間上恒成立得,利用基本不等式求出函數(shù)的最大值,即可求出的取值范圍;(3)構(gòu)造函數(shù),由在區(qū)間上,函數(shù)至少存在一點(diǎn)使,即由在區(qū)間,求出的范圍即可.

試題解析:已知函數(shù).

(1),,

, 故切線方程為:.

(2),由在定義域內(nèi)為增函數(shù),所以上恒成立,,對(duì)恒成立,設(shè),

易知,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則

,即.

(3)設(shè)函數(shù),

則原問(wèn)題上至少存在一點(diǎn),使得

當(dāng)時(shí),,則上單調(diào)遞增,,舍;

當(dāng)時(shí),

,,,,則,舍;當(dāng)時(shí),

上單調(diào)遞增,,整理得,

綜上,.

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