Question

15．在直線l₁：ax-y-a+2=0（a∈R），過原點(diǎn)O的直線l₂與l₁垂直，垂足為M，則|OM|的最大值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分a=0或a≠0兩種情況討論，設(shè)y=$\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}+1}$，根據(jù)判別式求出y的范圍，即可得到|OM|的最大值

解答 解：直線l₁：ax-y-a+2=0（a∈R），化為y=ax-a+2，則直線l₁的斜率為a，
當(dāng)a=0時(shí)，1₁：y=2，
∵過原點(diǎn)O的直線l₂與l₁垂直，
∴直線l₂的方程為x=0，
∴M（0.2），
∴|OM|=2，
當(dāng)a≠0時(shí)，
則直線l₂的斜率為-$\frac{1}{a}$，
則直線l₂的方程為y=-$\frac{1}{a}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax-a+2}\\{y=-\frac{1}{a}x}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{a（a-2）}{{a}^{2}+1}$，y=$\frac{2-a}{{a}^{2}+1}$，
∴M（$\frac{a（a-2）}{{a}^{2}+1}$，$\frac{2-a}{{a}^{2}+1}$），
則|OM|=$\sqrt{\frac{（a-2）^{2}}{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}+1}}$，
設(shè)y=$\frac{{a}^{2}-4a+4}{{a}^{2}+1}$，則（1-y）a²-4a+4-y=0，
∴△=16-4（1-y）（4-y）≥0，
解得0≤y≤5，
∴|OM|的最大值為$\sqrt{5}$，
綜上所述：|OM|的最大值為$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程的垂直的關(guān)系和直線與直線的交點(diǎn)和函數(shù)的最值得問題，屬于中檔題