Question

9．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓，在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{π}$．

Answer 1

分析 設OA=OB=2，兩個半圓的交點為C，且以AO為直徑的半圓以D為圓心，連結OC、CD．根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式算出S_弓形OMC 算出兩塊陰影部分面積之和為π．最后根據(jù)幾何概型計算公式，將所得陰影部分面積除以扇形OAB的面積，即可得到所求概率．

解答 解：如圖，設兩個半圓的交點為C，且以AO為直徑的半圓以D為圓心，連結OC、CD
設OA=OB=2，則弓形OMC的面積為
S_弓形OMC=S_扇形OCD-S_Rt△DCO=$\frac{1}{4}$•π•1²-$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$
可得空白部分面積為S_空白=2S_半圓AO-2S_弓形OMC=2×$\frac{1}{2}$•π•1²-（$\frac{π}{2}$-1）=$\frac{π}{2}$+1，
因此，兩塊陰影部分面積之和S_陰影=S_扇形OAB-S_空白=$\frac{1}{4}$π•2²-（$\frac{π}{2}$+1）=$\frac{π}{2}$-1
可得在扇形OAB內隨機取一點，此點取自陰影部分的概率為P=$\frac{{S}_{陰影}}{{S}_{扇形AOB}}$=$\frac{\frac{π}{2}-1}{π}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{π}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{π}$

點評 本題主要考查幾何概型的概率的計算，著重考查了扇形面積公式、組合圖形的面積計算和幾何概型計算公式等知識，根據(jù)條件求出陰影部分的面積是解決本題的關鍵．