Question

19．已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AB=2，AA₁=1，E為C₁D₁的中點．
（1）在所給圖中畫出平面ABD₁與平面B₁CE的交線（不必說明理由）
（2）證明：BD₁∥平面B₁CE；
（3）求點C₁到平面B₁CE的距離．

Answer 1

分析 （1）連接BC₁，即為平面ABD₁與平面B₁CE的交線；
（2）設(shè)BC₁∩B₁C=O，連接EO，證明EO∥BD₁，即可證明BD₁∥平面B₁CE；
（3）利用等體積方法求點C₁到平面B₁CE的距離．

解答 （1）解：連接BC₁，即為平面ABD₁與平面B₁CE的交線，如圖所示
（2）證明：設(shè)BC₁∩B₁C=O，連接EO，則
∵E為C₁D₁的中點，∴EO∥BD₁，
∵BD₁?平面B₁CE，EO?平面B₁CE，
∴BD₁∥平面B₁CE；
（3）解：由題意，△B₁CE中，B₁C=$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{2}$，B₁E=$\sqrt{5}$，面積為$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{5-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$
∴由等體積可得，點C₁到平面B₁CE的距離=$\frac{\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×1}{\frac{1}{3}×\frac{3}{2}}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查點到平面距離的計算，考查體積公式，屬于中檔題．