Question

10．如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=$\sqrt{2}$，點(diǎn)E在PD上，且$\frac{PE}{ED}$=2．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在點(diǎn)F使得BF∥平面EAC？若存在，指出F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）證明PA⊥AB，PA⊥AD，AB、AD是平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線，即可證明PA⊥平面ABCD；
（II）F是棱PC的中點(diǎn)，連接BM、BD，設(shè)BD∩AC=O，利用平面BFM∥平面AEC，證明使BF∥平面AEC．

解答 證明：（Ⅰ）∵因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=1，
在△PAB中，由PA²+AB²=2=PB²，知PA⊥AB．
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．…（5分）
（Ⅱ）取PE的中點(diǎn)M，PC的中點(diǎn)F，連接BD交AC于O，連接OE，BM，BF，則FM∥CE①--------（6分）
∵菱形ABCD，∴O是BD的中點(diǎn)
∵$\frac{PE}{ED}$=2，∴E是PD的三等分點(diǎn)--------（7分）
∴M是PE的中點(diǎn)，E是MD的中點(diǎn)，
∴BM∥OE．②
由①、②知，平面BFM∥平面AEC．
又BF?平面BFM，所以BF∥平面AEC    （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．