Question

15．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2c（c＞0），左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2c，0）．若橢圓E上存在點(diǎn)P，使得PM=$\sqrt{2}$PF，則橢圓E離心率的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

Answer 1

分析 設(shè)P（x，y），由PM=$\sqrt{2}$PF⇒x²+y²=2c²．
只需x²+y²=2c²與橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）由公共點(diǎn)，即b≤$\sqrt{2}c$≤a，可求離心率的取值范圍．

解答 解：設(shè)P（x，y），由PM=$\sqrt{2}$PF⇒PM²=2PF²⇒（x+2c）²+y²=2（x+c）²+2y²⇒x²+y²=2c²，
橢圓E上存在點(diǎn)P，使得PM=$\sqrt{2}$PF，則圓x²+y²=2c²與橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）由公共點(diǎn)，
∴b≤$\sqrt{2}c$≤a⇒$\frac{1}{3}≤\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{1}{2}$⇒$\frac{\sqrt{3}}{3}≤e≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：[$\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{2}}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的離心率，關(guān)鍵是要結(jié)合圖形，屬于中檔題．