分析 (I)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知A點(diǎn)橫坐標(biāo)為FD的中點(diǎn)橫坐標(biāo),列出方程解出p.
(II)根據(jù)|FA|=|FD|列出方程得出A,D橫坐標(biāo)的關(guān)系,從而得出l的斜率,設(shè)l1方程,與拋物線方程聯(lián)立,由判別式△=0得出l的截距與A點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,求出E點(diǎn)坐標(biāo),得出AE方程,根據(jù)方程特點(diǎn)判斷定點(diǎn)坐標(biāo).
解答 解:(I)拋物線的焦點(diǎn)F(p2,0),設(shè)D(t,0),則FD的中點(diǎn)為(p+2t4,0).
∵|FA|=|FD|,∴3+p2=|t-p2|,解得t=3+p或t=-3(舍).
∵p+2t4=3,∴3p+64=3,解得p=2.
∴拋物線方程為y2=4x.
(II)由(I)知F(1,0),設(shè)A(x0,y0),D(xD,0),
∵|FA|=|FD|,則|xD-1|=x0+1,由xD>0得xD=x0+2,即D(x0+2,0).
∴直線l的斜率為kAD=-y02.∵l1∥l,故直線l1的斜率為-y02.
設(shè)直線l1的方程為y=-y02x+b,
聯(lián)立方程組{y2=4xy=−y02x+b,消元得:y2+8y0y-8by0=0,
∵直線l1與拋物線相切,
∴△=64y02+32by0=0,∴b=-2y0.
設(shè)E(xE,yE),則yE=-4y0,xE=4y02,
當(dāng)y02≠4時(shí),kAE=yE−y0xE−x0=4y0y02−4,直線AE的方程為y-y0=4y0y02−4(x-x0),
∵y02=4x0,∴直線AE方程為y=4y0y02−4(x−1).∴直線AE經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0).
當(dāng)y02=4時(shí),直線AE方程為x=1,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0).
綜上,直線AE過(guò)定點(diǎn)F(1,0).
點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的關(guān)系,屬于中檔題.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 2\sqrt{2} | D. | 3 |
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