Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx．
（I）求函數(shù)g（x）=x-1-f（x）的極小值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，不等式$\frac{f（x）}{2}≥\frac{x-1}{x+1}$恒成立；
（Ⅲ）已知a∈（0，$\frac{π}{2}$），試比較f（tana）與2tan（a-$\frac{π}{4}$）的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)g（x）=x-1-f（x）的極小值；
（Ⅱ）$\frac{f（x）}{2}≥\frac{x-1}{x+1}$可化為（x+1）lnx-2（x-1）≥0，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明：當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，不等式$\frac{f（x）}{2}≥\frac{x-1}{x+1}$恒成立；
（Ⅲ）已知a∈（0，$\frac{π}{2}$），證明$\frac{lnx}{2}$＜$\frac{x-1}{x+1}$，分類討論，即可比較f（tana）與2tan（a-$\frac{π}{4}$）的大�。�

解答 解：（I）函數(shù)g（x）=x-1-f（x）=x-1-lnx，
g′（x）=$\frac{x-1}{x}$（x＞0），
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=1時(shí)，g（x）的極小值為0；
證明：（Ⅱ）$\frac{f（x）}{2}≥\frac{x-1}{x+1}$可化為（x+1）lnx-2（x-1）≥0，
令h（x）=（x+1）lnx-2（x-1）（x≥1），則h′（x）=$\frac{1}{x}$+lnx-1，
令φ（x）=$\frac{1}{x}$+lnx-1（x≥1），則φ′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
∴φ（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴φ（x）≥φ（1）=0，即h′（x）≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≥h（1）=0，
∴$\frac{f（x）}{2}≥\frac{x-1}{x+1}$；
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）可知x＞1，$\frac{lnx}{2}$＞$\frac{x-1}{x+1}$．
∵0＜x＜1，
∴$\frac{1}{x}$＞1
∴$\frac{ln\frac{1}{x}}{2}$＞$\frac{\frac{1}{x}-1}{\frac{1}{x}+1}$，
∴$\frac{lnx}{2}$＜$\frac{x-1}{x+1}$，
∵f（tana）=lntana，2tan（a-$\frac{π}{4}$）=2•$\frac{tana-1}{tana+1}$，
∴0＜a＜$\frac{π}{4}$，0＜tana＜1，f（tana）＜2tan（a-$\frac{π}{4}$），
a=$\frac{π}{4}$，tana-1，f（tana）=2tan（a-$\frac{π}{4}$），
$\frac{π}{4}$＜a＜$\frac{π}{2}$，tana＞1，f（tana）＞2tan（a-$\frac{π}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查不等式的證明，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．