Question

2．如圖所示，圓O的圓心為坐標原點，B為圓O上一點，若點A坐標為（3，0），|AB|=4，sin∠AOB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
求：（1）△AOB的面積；
（2）AB所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓的半徑為r，則B（-$\frac{1}{4}$r，$\frac{\sqrt{15}}{4}$r），利用勾股定理建立方程，求出r，即可求出△AOB的面積；
（2）利用點斜式，求出AB所在的直線方程．

解答 解：（1）設(shè)圓的半徑為r，則B（-$\frac{1}{4}$r，$\frac{\sqrt{15}}{4}$r），
∵點A坐標為（3，0），|AB|=4，
∴（3+$\frac{1}{4}$r）²+（$\frac{\sqrt{15}}{4}$r）²=16，
∴2r²+3r-14=0，
∴r=2，
∴△AOB的面積S=$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$；
（2）由（1）知B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{15}}{2}$），
∴AB所在的直線方程為y-0=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{2}-0}{-\frac{1}{2}-3}$（x-3），即$\sqrt{15}$x+7y-3$\sqrt{15}$=0．

點評 本題考查直線、圓的方程，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．