Question

16．如圖所示，已知C為圓${（{x+\sqrt{2}}）^2}$+y²=4的圓心，點(diǎn)A（${\sqrt{2}$，0），P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP所在直線上，且$\overrightarrow{MQ}$•$\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn)Q的軌跡方程為x²-y²=1．

Answer 1

分析 由題意可得QM是線段PA的垂直平分線，PC=QC-QA=2，可得點(diǎn)Q的軌跡是以C（-$\sqrt{2}$，0），A（$\sqrt{2}$，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的雙曲線，由此能求出點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答 解：由題意可得C（-$\sqrt{2}$，0），圓C的半徑為2，M為線段AP的中點(diǎn)，且QM⊥AP，即QM是線段PA的垂直平分線，
故有QP=QA．
∵PC=2，故有PC=QC-QP=QC-QA=2，故點(diǎn)Q在以C、A為焦點(diǎn)的雙曲線上，
且2a=1，∴a=1，又c=$\sqrt{2}$，∴b=$\sqrt{{c}^{2}{-a}^{2}}$=1．
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y），則雙曲線的方程為 $\frac{{x}^{2}}{1}$-$\frac{{y}^{2}}{{1}^{2}}$=1，即 x²-y²=1，
故答案為：x²-y²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題．