Question

15．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，E，F(xiàn)分別為PD，BC的中點．
（1）求證：AE⊥PC；
（2）G為線段PD上一點，若FG∥平面AEC，求$\frac{PG}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （1）證明：AE⊥平面PCD，即可證明AE⊥PC；
（2）取AP中點M，連接MF，MG，ME，利用平面MFG∥平面AEC，又平面MFG∩平面PAD=MG，平面AEC∩平面PAD=AE，MG∥AE，即可求$\frac{PG}{PD}$的值．

解答 （1）證明：∵AP⊥平面ABCD，∴AP⊥CD，
在矩形ABCD中，CD⊥AD，
又AP∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE，
在△PAD中，E為PD中點，PA=AD，∴AE⊥PD，
又CD∩PD=D，CD，PD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD，
∵PC?平面PCD，∴AE⊥PC
（2）解：$\frac{PG}{PD}=\frac{1}{4}$
取AP中點M，連接MF，MG，ME．
在△PAD中，M，E分別為PA，PD的中點
則ME為△PAD的中位線∴$ME∥AD，ME=\frac{1}{2}AD$，
又$FC∥AD，F(xiàn)C=\frac{1}{2}AD$，∴ME∥FC，ME=FC，∴四邊形MECF為平行四邊形，∴MF∥EC，
又MF?平面AEC，EC?平面AEC，∴MF∥平面AEC，
又FG∥平面AEC，MF∩FG=F，MF，F(xiàn)G?平面MFG，∴平面MFG∥平面AEC，
又平面MFG∩平面PAD=MG，平面AEC∩平面PAD=AE，∴MG∥AE，
又∵M為AP中點，∴G為PE中點，
又E為PD中點，∴$PG=\frac{1}{4}PD$，即$\frac{PG}{PD}=\frac{1}{4}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面、面面平行，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．