Question

設集合M=[0，1），N=[1，2），函數(shù)f(x)=

2x       (x∈M) 4-2x  (x∈N)

．
（1）若x∈M，g（x）=f²（x）-2f（x）+a，且g（x）的最小值為1，求實數(shù)a的值；
（2）若x₀∈M，且f（f（x₀））∈M，求x₀的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）若x∈M，令t=2^x，則y=（t-1）²+a-1，且t∈[1，2），再利用二次函數(shù)的性質求得函數(shù)的最小值，再根據函數(shù)的最小值為1，求得a的值．
（2）當x∈M，f（x）∈[1，2）；當x∈N，f（x）∈[0，2]，令t=f（x₀），則f（t）∈M，即0≤f（t）≤1，求得t的范圍，可得f（x₀）的范圍，從而求得x₀的取值范圍．

解答： 解：（1）若x∈M，令t=2^x，則y=t²-2t+a=（t-1）²+a-1，且t∈[1，2），
故當t=1時，函數(shù)取得最小為a-1=1，∴a=2．
（2）當x∈M，f（x）=2^x∈[1，2）；當x∈N，f（x）=4-2x∈[0，2]，
令t=f（x₀），∴f（t）∈M．
∵0≤f（t）≤1，∴0≤4-2t＜1，∴

3

2

＜t＜3，
∴

3

2

＜f(x0)＜α，∴

3

2

＜2x0＜2，∴log2

3

2

＜x0＜1，即x₀的取值范圍為（log2

3

2

，1）．

點評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)的值域，注意換元過程中變量范圍的改變，屬于中檔題．