Question

設(shè)A、B是雙曲線E的兩焦點(diǎn)，點(diǎn)C在E上，且∠CBA=

π

4

，若AB=8，BC=

2

，則雙曲線E的一個(gè)焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用余弦定理求出AC，根據(jù)雙曲線的定義，即可得出雙曲線方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，結(jié)果可求．

解答： 解：設(shè)雙曲線方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
因?yàn)辄c(diǎn)C在E上，且∠CBA=

π

4

，若AB=8，BC=

2

，結(jié)合余弦定理求得AC=

AB2+BC2-2AB×BC× 2 2

=5

2

，所以2a=AC-BC=4

2

，所以a=2

2

，又c=

1

2

×AB=4，
所以雙曲線方程為x²-y²=²8，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），一條漸近線方程為x-y=0，
所以雙曲線E的一個(gè)焦點(diǎn)到其中一條漸近線的距離為

4

2

=2

2

；
故答案為：2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法以及相關(guān)性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．