Question

17．已知橢圓C過點Q（-3，2）且與橢圓D：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有相同焦點
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知橢圓C的焦點為F₁、F₂，P為橢圓上一點∠F₁PF₂=60°，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析 （1）利用題意經(jīng)過的點以及橢圓的焦點坐標，流程方程組，求解橢圓方程．
（2）根據(jù)題意，由橢圓的標準方程可得a、b以c的值，即可得|F₁F₂|的值；進而在在△PF₁F₂中，由余弦定理可得關(guān)系式|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos 60°，代入數(shù)據(jù)變形可得4=（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁||PF₂|，結(jié)合橢圓的定義可得4=16-3|PF₁||PF₂|，即可得|PF₁||PF₂|=4，由正弦定理計算可得答案．

解答 （1）焦點$（±\sqrt{5}，0）$，設(shè)$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{a^2}-{b^2}=5\\ \frac{9}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a^2}=15\\{b^2}=10\end{array}\right.$，
∴$\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{10}=1$．
（2）解：由$\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{10}=1$
可知，已知橢圓的焦點在x軸上，且a=$\sqrt{15}$，b=$\sqrt{10}$，
∴c=$\sqrt{5}$，∴|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{5}$，
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos 60°
=|PF₁|²+|PF₂|²-|PF₁|•|PF₂|，即20=（|PF₁|+|PF₂|）²-3|PF₁||PF₂|，
由橢圓的定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a=2$\sqrt{15}$，
∴20=60-3|PF₁||PF₂|，
∴|PF₁||PF₂|=$\frac{40}{3}$，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|•sin 60°=$\frac{1}{2}$×$\frac{40}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)，涉及余弦定理的應(yīng)用，掌握橢圓的定義以及標準方程并靈活運用是解題的關(guān)鍵．