Question

14．如圖，已知橢圓$\frac{x^2}{3}$+y²=1的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別是點(diǎn)B和C，點(diǎn)P是直線L：y=-2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不在y軸上），直線PC交橢圓于另一點(diǎn)M．
（1）當(dāng)直線PM過點(diǎn)A時(shí)，求△ABP的面積；
（2）求證：△MBP為直角三角形；
（3）以A，B為焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P的橢圓有無數(shù)個(gè)，求這些橢圓的離心率的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線AC的方程易求，從而可得P點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式，從而△ABP的面積可求；
（2）設(shè)P（m，-2）（m≠0），求得PM的斜率，聯(lián)立直線PM和橢圓方程，可得M的坐標(biāo)，利用直線PB與BM斜率之積為-1可證；
（3）點(diǎn)B關(guān)于直線y=-2的對(duì)稱點(diǎn)B′可求，連AB′與y=-2的交點(diǎn)即為P，求得AB'的長，即為PA+PB的長，由橢圓定義和離心率公式，可得最大值．

解答 解：（1）由橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，可得a=$\sqrt{3}$，b=1，c=$\sqrt{2}$，
即有B（0，1），C（0，-1），A（$\sqrt{3}$，0），
直線PM即PC：$\frac{x}{\sqrt{3}}$-y=1，即為x-$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$=0，
由y=-2，代入上式可得x=-$\sqrt{3}$，
P（-$\sqrt{3}$，-2）到直線BA：x+$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$=0的距離為d=$\frac{|-\sqrt{3}-2\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{1+3}}$=2$\sqrt{3}$，
即有S_△ABP=$\frac{1}{2}$BA•d=$\frac{1}{2}$•2•2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$；
（2）證明：設(shè)P（m，-2）（m≠0），k_PM=$\frac{-1-（-2）}{0-m}$=-$\frac{1}{m}$，
PM：y=-$\frac{1}{m}$x-1，代入橢圓方程可得（3+m²）x²+6mx=0，
解得M（-$\frac{6m}{3+{m}^{2}}$，$\frac{3-{m}^{2}}{3+{m}^{2}}$），
k_PB=$\frac{1-（-2）}{0-m}$=-$\frac{3}{m}$，k_BM=$\frac{\frac{3-{m}^{2}}{3+{m}^{2}}-1}{-\frac{6m}{3+{m}^{2}}-0}$=$\frac{m}{3}$，
則k_PBk_BM=-1，即PB⊥BM，
即有△MBP為直角三角形；
（3）設(shè)B關(guān)于直線y=-2的對(duì)稱點(diǎn)為B'，
由B（0，1），可得B'（0，-5），
連接AB'，交直線y=-2即為P，
則P到A，B的距離之和最小，
且為|AB'|=$\sqrt{3+25}$=2$\sqrt{7}$，
|AB|=$\sqrt{3+1}$=2，
由2$\sqrt{7}$＞2，可知以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過P，
此時(shí)橢圓的離心率取得最大，
且為e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{2}{2\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓聯(lián)立，以及點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的求法，兩直線垂直的條件，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．