已知函數(shù)(為常數(shù)).
(1)若是函數(shù)的一個極值點,求的值;
(2)當時,試判斷的單調(diào)性;
(3)若對任意的,使不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
(1)3;(2)在上是增函數(shù);(3).
解析試題分析:(1)先求函數(shù)的定義域,,在由可求得;(2)在中由于,判斷函數(shù)的正負號,從而確定函數(shù)在上的單調(diào)性;(3)當時,由(2)知,在[1,2]上的最小值為,
故問題等價于:對任意的,不等式恒成立.分離變量恒成立,構(gòu)造函數(shù)
記,(),由導數(shù)法求解.
依題意,,
(1)由已知得:,∴,∴.(3分)
(2)當時,,
因為,所以,而,即,
故在上是增函數(shù).(8分)
(3)當時,由(2)知,在[1,2]上的最小值為,
故問題等價于:對任意的,不等式恒成立.即恒成立
記,(),則,
令,則
所以,所以,
故,所以在上單調(diào)遞減所以
即實數(shù)的取值范圍為.(13分)
考點:導數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性,構(gòu)造法.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
對于三次函數(shù),定義是的導函數(shù)的導函數(shù),若方程有實數(shù)解,則稱點為函數(shù)的“拐點”,可以證明,任何三次函數(shù)都有“拐點”,任何三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心,請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題:
①任意三次函數(shù)都關于點對稱:
②存在三次函數(shù),若有實數(shù)解,則點為函數(shù)的對稱中心;
③存在三次函數(shù)有兩個及兩個以上的對稱中心;
④若函數(shù),則:
其中所有正確結(jié)論的序號是( ).
A.①②④ | B.①②③ | C.①③④ | D.②③④ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分13分)
設函數(shù)(為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù),且曲線在點處的切線的斜率為.
(1)確定的值;
(2)若,判斷的單調(diào)性;
(3)若有極值,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知二次函數(shù)的圖像過點和,直線,直線(其中,為常數(shù));若直線與函數(shù)的圖像以及直線與函數(shù)以及的圖像所圍成的封閉圖形如陰影所示.
(1)求;
(2)求陰影面積關于的函數(shù)的解析式;
(3)若過點可作曲線的三條切線,求實數(shù)的取值范圍.
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