Question

15．求下列圓的標準方程：
（1）圓心是（4，-1），且過點（5，2）；
（2）圓心在y軸上，半徑長為5，且過點（3，-4）；
（3）求過兩點C（-1，1）和D（1，3），圓心在x軸上的圓的標準方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由兩點間距離公式計算可得圓的半徑長r，代入圓的標準方程即可得答案；
（2）設圓心為C（0，b），則（3-0）²+（-4-b）²=5²，解可得b的值，即可得圓心坐標，代入圓的標準方程即可得答案；
（3）根據(jù)題意，求出段CD的垂直平分線的方程，進而求出其與x軸的交點，即可得圓心坐標，由兩點間距離公式計算可得圓的半徑長r，代入圓的標準方程即可得答案．

解答 解：（1）圓的半徑長r，則r²=（5-4）²+（-1-2）²=10，
故圓的標準方程為（x-4）²+（y+1）²=10．
（2）設圓心為C（0，b），則（3-0）²+（-4-b）²=5²，
解得b=0或b=-8，則圓心為（0，0）或（0，-8）．
又∵半徑r=5，
∴圓的標準方程為x²+y²=25或x²+（y+8）²=25．
（3）根據(jù)題意，直線CD的斜率k_CD=$\frac{3-1}{1+1}$=1，線段CD中點E的坐標為（0，2），
故線段CD的垂直平分線的方程為y-2=-x，
即y=-x+2，令y=0，得x=2，
即圓心為（2，0）．由兩點間的距離公式，得r=$\sqrt{（2-1）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$．
所以所求圓的標準方程為（x-2）²+y²=10．

點評 本題考查圓的標準方程，涉及直線與圓的位置關(guān)系，注意圓的標準方程的形式，求出圓心坐標以及半徑．