Question

12．下列說法中，正確的有③④．（寫出所有正確說法的序號）
①已知關于x的不等式mx²+mx+1＞0的解集為R，則實數m的取值范圍是0＜m＜4．
②已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，則S_n、S_2n-S_n、S_3n-S_2n也構成等比數列．
③已知a＞0，b＞-1，且a+b=1，則$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{^{2}}{b+1}$的最小值為$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
④在△DEF中，DE=2，EF=3，∠DEF=60°，M是DF的中點，N在EF上，且DN⊥ME，則$\overrightarrow{DN}$•$\overrightarrow{EF}$=$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 對m討論，m=0，m＞0，判別式小于0，m＜0，解不等式即可判斷①；
若等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若公比q=-1，n為偶數，即可判斷②；
將$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{^{2}}{b+1}$，結合條件，變形為$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b+1}$=$\frac{1}{2}$[a+（b+1）]（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b+1}$），展開后運用基本不等式，可得最小值，即可判斷③；
以E為坐標原點，EF所在直線為x軸，建立直角坐標系，求出D和M的坐標，設N（n，0），由兩直線垂直條件：斜率之積為-1，求得n，再由向量的坐標和數量積的坐標表示，計算即可得到所求值，即可判斷④．

解答 解：對于①，關于x的不等式mx²+mx+1＞0的解集為R，
當m=0時，不等式即為1＞0，成立；當m＞0，判別式△=m²-4m＜0，解得0＜m＜4；
當m＜0不恒成立．則實數m的取值范圍是0≤m＜4．故①錯；
對于②，若等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若公比q=-1，n為偶數，則S_n、S_2n-S_n、S_3n-S_2n，均為0，
則S_n、S_2n-S_n、S_3n-S_2n不構成等比數列．故②錯；
對于③，a＞0，b＞-1，且a+b=1，則$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{^{2}}{b+1}$=a+$\frac{2}{a}$+$\frac{（b+1）^{2}-2（b+1）+1}{b+1}$
=a+b+1-2+$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b+1}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b+1}$=$\frac{1}{2}$[a+（b+1）]（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b+1}$）=$\frac{1}{2}$[2+1+$\frac{a}{b+1}$+$\frac{2（b+1）}{a}$]
≥$\frac{1}{2}$[3+2$\sqrt{\frac{a}{b+1}•\frac{2（b+1）}{a}}$]=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．當且僅當a=$\sqrt{2}$（b+1）取得等號．
則所求最小值為$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．故③正確；
對于④，在△DEF中，DE=2，EF=3，∠DEF=60°，
M是DF的中點，N在EF上，建立坐標系如圖：
可得D的坐標為（2cos60°，2sin60°），即為（1，$\sqrt{3}$），
又E（0，0），F（3，0），則M（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設N（n，0），由DN⊥ME，可得k_DN•k_ME=-1，
即有$\frac{\sqrt{3}}{1-n}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$=-1，可得n=$\frac{7}{4}$，即有N（$\frac{7}{4}$，0），
則$\overrightarrow{DN}$•$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{3}{4}$，-$\sqrt{3}$）•（3，0）=$\frac{3}{4}$×3+（-$\sqrt{3}$）×0=$\frac{9}{4}$．
故④正確．
故答案為：③④．

點評 本題考查命題的真假判斷和運用，考查不等式恒成立問題的解法，以及等比數列前n項和的性質，基本不等式的運用和向量數量積的坐標表示，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．