Question

1．已知函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{2a}{x}，a∈R$．
（1）若函數(shù)f（x）在[4，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值，求出a的值即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{2a}{x^2}=\frac{x-2a}{x^2}$，由已知$?x∈[{4，+∞}），\frac{x-2a}{x^2}≥0$，即x-2a≥0，
∴2a≤x，∴2a≤4，∴a≤2．
（2）當(dāng)2a≤1，即$a≤\frac{1}{2}$時(shí)，x∈[1，e]，f'（x）≥0，
∴f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=2a=3，∴$a=\frac{3}{2}$舍；
當(dāng)1＜2a＜e，即$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$時(shí)，x∈（1，2a），f'（x）＜0，
∴f（x）在x∈（1，2a）上單調(diào)遞減；
x∈（2a，e），f'（x）＞0，
∴f（x）在x∈（1，2a）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（2a）=ln2a+1=3，
∴$a=\frac{e^2}{2}$舍；
當(dāng)2a≥e，即$a≥\frac{e}{2}$時(shí)，x∈[1，e]，f'（x）≤0，
∴f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴$f{（x）_{min}}=f（e）=1+\frac{2a}{e}=3$，∴a=e；
綜上，a=e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．