Question

16．已知點(diǎn)C（x₀，y₀）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上的動(dòng)點(diǎn)，以C為圓心的圓過點(diǎn)F（1，0）．
（Ⅰ）若圓C與y軸相切，求實(shí)數(shù)x₀的值；
（Ⅱ）若圓C與y軸交于A，B兩點(diǎn)，求|FA|•|FB|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)圓C與y軸相切時(shí)，|x₀|=$\sqrt{（{x}_{0}-1）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，再由點(diǎn)C在橢圓上，得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=1$，由此能求出實(shí)數(shù)x₀的值．
（Ⅱ）圓C的方程是（x-x₀）²+（y-y₀）²=（x₀-1）²+${{y}_{0}}^{2}$，令x=0，得y²-2y₀y+2x₀-1=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出|FA|•|FB|的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)圓C與y軸相切時(shí)，|x₀|=$\sqrt{（{x}_{0}-1）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，（2分）
又因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=1$，（3分）
解得${x}_{0}=-2±2\sqrt{2}$，（5分）
因?yàn)?$\sqrt{2}≤{x}_{0}≤\sqrt{2}$，所以${x}_{0}=-2+2\sqrt{2}$．（6分）
（Ⅱ）圓C的方程是（x-x₀）²+（y-y₀）²=（x₀-1）²+${{y}_{0}}^{2}$，
令x=0，得y²-2y₀y+2x₀-1=0，
設(shè)A（0，y₁），B（0，y₂），則y₁+y₂=2y₀，y₁y₂=2x₀-1，（8分）
由$△=4{{y}_{0}}^{2}-4（2{x}_{0}-1）＞0$，及${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}$得-2-2$\sqrt{2}$＜x₀＜-2+2$\sqrt{2}$，
又由P點(diǎn)在橢圓上，-$\sqrt{2}$≤x₀≤$\sqrt{2}$，所以-$\sqrt{2}$≤${x}_{0}＜-2+2\sqrt{2}$，（10分）
|FA|•|FB|=$\sqrt{{{y}_{1}}^{2}+1}$•$\sqrt{{{y}_{2}}^{2}+1}$=$\sqrt{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}+（{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}）+1}$（12分）
=$\sqrt{（2{x}_{0}-1）^{2}+4{y}_{0}{\;}^{2}-2（2{x}_{0}-1）+1}$
=$\sqrt{2{{x}_{0}}^{2}-8{x}_{0}+8}$
=$\sqrt{2}（2-{x}_{0}）$，（14分）
所以|FA|•|FB|的取值范圍是（4$\sqrt{2}-4$，2$\sqrt{2}$+2]．（15分）

點(diǎn)評 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查兩線段乘積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、圓、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．