Question

1．若函數(shù)f（x）=（x+$\frac{7}{x}$-5）e^x-$\frac{a}{x}$有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [e²，3e]
• B． （e²，3e）
• C． （7，3e]
• D． （e²，7）∪（7，3e）

Answer 1

分析 利用參數(shù)分離法求出a=（x²-5x+7）e^x，（x≠0），然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x²-5x+7）e^x，（x≠0），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：若函數(shù)f（x）=（x+$\frac{7}{x}$-5）e^x-$\frac{a}{x}$有三個零點，
則函數(shù)f（x）=（x+$\frac{7}{x}$-5）e^x-$\frac{a}{x}$=0，即a=（x²-5x+7）e^x，（x≠0），
設(shè)g（x）=（x²-5x+7）e^x，（x≠0），
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=（2x-5）e^x+（x²-5x+7）e^x=（x²-3x+2）e^x，
（x≠0），
由f′（x）＞0得x＞2或x＜1且x≠0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0得1＜x＜2，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當x=1時，函數(shù)取得極大值g（1）=3e，
當x=2時，函數(shù)取得極小值g（2）=e²，
則要使y=a與y=g（x）有三個交點，
則e²＜a＜3e，
故實數(shù)a的取值范圍是（e²，3e），
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法結(jié)合構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．