Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x+2a|+|x-1|．
（1）若a=1，解不等式f（x）≤5；
（2）當a≠0時，$g（a）=f（{\frac{1}{a}}）$，求滿足g（a）≤4的a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，f（x）=|x+2|+|x-1|，利用絕對值的意義求得不等式f（x）≤5的解集．
（Ⅱ）先求得g（x）的解析式，分類討論求得g（a）≤4的a的取值范圍，綜合可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=|x+2|+|x-1|，故f（x）表示數(shù)軸上的點x到-2和1對應點的距離之和，
因為x=-3或2時，f（x）=5，依據(jù)絕對值的幾何意義可得f（x）≤5的解集為{x|-3≤x≤2}．
（Ⅱ）∵$g（a）=f（{\frac{1}{a}}）$，∴$g（a）=|{\frac{1}{a}+2a}|+|{\frac{1}{a}-1}|$，
當a＜0時，$g（a）=-\frac{2}{a}-2a+1≥5$，等號當且僅當a=-1時成立，所以g（a）≤4無解；
當0＜a≤1時，$g（a）=\frac{2}{a}+2a-1$，
由g（a）≤4得2a²-5a+2≤0，解得$\frac{1}{2}≤a≤2$，又因為0＜a≤1，所以$\frac{1}{2}≤a≤1$；
當a＞1時，由g（a）=2a+1≤4，解得$1＜a≤\frac{3}{2}$，
綜上，a的取值范圍是$[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．