【題目】如圖，在三棱錐中，為的中點.

（1）證明:；

（2）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求直線與所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析過程；（2）.

【解析】

（1）利用勾股定理逆定理可以證明底面直角三角形的性質(zhì)，結合側(cè)棱相等，可以確定是底面的垂線，進而利用線面垂直的性質(zhì)進行證明即可；

（2）由（1）中的線面垂直關系，可以證明出平面和平面互相垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結合線面角的定義，可以求出的長，最后利用異面直線的定義進行求解即可.

（1）因為，所以有，所以三角形是直角三角形，而為斜邊的中點.所以三角形的外心為點，因為，所以點在底面的射影是底面的外心，因此平面，而平面，因此有；

（2）由（1）可知：平面，而平面，所以平面平面，過作，垂足為，因為平面平面，所以平面，因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，設，

所以，因此由，因此有

，根據(jù)，可得

或（舍去），故，因此點是線段的中點，取的中點，連接，則有，所以是直線與所成角（或補角），

因為，，所以，由余弦定理可知：.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，

（1）求函數(shù)f（x）在x∈[﹣1，2]上的最大值和最小值；

（2）若對于任意x∈[﹣1，2]都有f（x）＜m成立，求實數(shù)m的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，，，平面PAB，D，E分別是AC，BC上的點，且平面PAB.

（1）求證平面PDE；

（2）若D為線段AC中點，求直線PC與平面PDE所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（其中α為參數(shù)），曲線C2：（x﹣1）2+y2=1，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．

（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的極坐標方程；

（2）若射線θ=（ρ＞0）與曲線C1，C2分別交于A，B兩點，求|AB|．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為.

（1）求的值及函數(shù)的極值；

（2）證明：當時，；

（3）證明：對任意給定的正數(shù)，總存在，使得當時，恒有.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示的多面體ABCDEF滿足：正方形ABCD與正三角形FBC所在的兩個平面互相垂直，FB∥AE且FB＝2EA.

（1）證明：平面EFD⊥平面ABFE；

（2）若AB＝2，求多面體ABCDEF的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD//平面BCC1B1，AD⊥DB.求證：

（1）BC//平面ADD1A1；

（2）平面BCC1B1⊥平面BDD1B1.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若（2b﹣c）cosA＝acosC．

（1）求角A；

（2）若△ABC的外接圓面積為π，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，其中，

（1）若，且是的極大值點，求的取值范圍；

（2）當，時，方程有唯一實數(shù)根，求正數(shù)的值.

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