Question

1．如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，四邊形BCC₁B₁為矩形．
（1）求證△A₁BC為等腰三角形；
（2）若$∠{A_1}BC=\frac{π}{3}$，AB⊥AC，平面A₁BC⊥平面ABC，求二面角B-A₁C-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC中點D，連接A₁D，AD，則AD⊥BC，證明BC⊥平面A₁AD，可得BC⊥A₁D，即可證明△A₁BC為等腰三角形；
（2）建立如圖所示的坐標系，利用向量方法求二面角B-A₁C-C₁的余弦值．

解答 （1）證明：取BC中點D，連接A₁D，AD，則AD⊥BC，
∵四邊形BCC₁B₁為矩形，∴BC⊥A₁A，
∵AD∩A₁A=A，∴BC⊥平面A₁AD，
∴BC⊥A₁D，
∵BD=DC，
∴△A₁BC為等腰三角形；
（2）解：由題意，A₁D⊥平面ABC，則建立如圖所示的坐標系，設(shè)AB=2，則C（$\sqrt{2}$，0，0），A（0，$\sqrt{2}$，0），A₁（0，0，$\sqrt{6}$），∴$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$），
設(shè)平面A₁C的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0}\\{-\sqrt{2}y+\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
∵平面A₁BC的一個法向量為（0，1，0），則二面角B-A₁C-C₁的余弦值=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+3+1}•1}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角余弦值的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．