已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線的斜率為3.
(1)求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若f(x)≤kx2對任意x>0成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)當(dāng)n>m>1(m,n∈N*)時,證明:
nm
mn
m
n
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程
專題:計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),由切線的斜率為3,解方程,即可得到a;
(2)f(x)≤kx2對任意x>0成立?k≥
1+lnx
x
對任意x>0成立,令g(x)=
1+lnx
x
,則問題轉(zhuǎn)化為求g(x)的最大值,運(yùn)用導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間,得到最大值,令k不小于最大值即可;
(3)令h(x)=
xlnx
x-1
,求出導(dǎo)數(shù),判斷單調(diào)性,即得h(x)是(1,+∞)上的增函數(shù),由n>m>1,則h(n)>h(m),化簡整理,即可得證.
解答: 解:(1)∵f(x)=ax+xlnx,∴f'(x)=a+lnx+1,
又∵f(x)的圖象在點(diǎn)x=e處的切線的斜率為3,
∴f'(e)=3,即a+lne+1=3,
∴a=1;     
(2)由(1)知,f(x)=x+xlnx,
∴f(x)≤kx2對任意x>0成立?k≥
1+lnx
x
對任意x>0成立,
g(x)=
1+lnx
x
,則問題轉(zhuǎn)化為求g(x)的最大值,
g′(x)=
1
x
•x-(1+lnx)
x2
=-
lnx
x2
,令g'(x)=0,解得x=1,
當(dāng)0<x<1時,g'(x)>0,∴g(x)在(0,1)上是增函數(shù);
當(dāng)x>1時,g'(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上是減函數(shù).       
故g(x)在x=1處取得最大值g(1)=1,
∴k≥1即為所求;           
(3)令h(x)=
xlnx
x-1
,則h′(x)=
x-1-lnx
(x-1)2
,
由(2)知,x≥1+lnx(x>0),∴h'(x)≥0,
∴h(x)是(1,+∞)上的增函數(shù),
∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即
nlnn
n-1
mlnm
m-1
,
∴mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,
即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn,
lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn,ln(mnnm>ln(nmmn,
∴(mnnm>(nmmn
nm
mn
m
n
點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用:求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值,考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,考查不等式的證明,運(yùn)用構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性,再由單調(diào)性證明,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一個多面體的直觀圖(圖1)及三視圖(圖2)如圖所示,其中M,N分別是AF、BC的中點(diǎn)
(Ⅰ)求證:MN∥平面CDEF:
(Ⅱ)求二面角A-CF-B的余弦值;

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列命題中的假命題是( �。�
A、?x∈R,21-x>0
B、?x∈(0,+∞),2xx
1
2
C、?x0∈R,當(dāng)x>x0時,恒有1.1x<x4
D、?α∈R,使函數(shù) y=xα的圖象關(guān)于y軸對稱
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知三角形ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,2acosA=bcosC+ccosB.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a=
3
,b=1,求c.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={x|0<ax+1≤5},B={x|
x-2
2x+1
≤0}
(Ⅰ)若A⊆B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)集合A,B能否相等,若能求出a的值;若不能,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下面四個條件中,使a>b成立的充分不必要條件是( �。�
A、a3>b3
B、a>b+1
C、a2>b2
D、a>b-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x+log3x+cosx,則f′(x)=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義某種運(yùn)算S=a?b,運(yùn)算原理如流程圖所示,則式子(2tan
π
4
)?lne+lg100?(
1
3
-1的值為( �。�
A、4B、6C、8D、10
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

閱讀如圖的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,輸出的結(jié)果為(  )
A、
13
11
B、
13
8
C、
8
13
D、
21
13
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屻倝宕妷锔芥瘎婵炲濮甸懝楣冨煘閹寸偛绠犻梺绋匡攻椤ㄥ棝骞堥妸褉鍋撻棃娑欏暈鐎规洖寮堕幈銊ヮ渻鐠囪弓澹曢梻浣虹帛娓氭宕板☉姘变笉婵炴垶菤濡插牊绻涢崱妯哄妞ゅ繒鍠栧缁樻媴閼恒儳銆婇梺闈╃秶缁犳捇鐛箛娑欐櫢闁跨噦鎷� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙绀冩い鏇嗗洤鐓橀柟杈鹃檮閸嬫劙鏌涘▎蹇fЧ闁诡喗鐟х槐鎾存媴閸濆嫷鈧矂鏌涢妸銉у煟鐎殿喖顭锋俊鎼佸煛閸屾矮绨介梻浣呵归張顒傜矙閹达富鏁傞柨鐕傛嫹