Question

10．在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsin²θ=2cosθ，過點p（-3，-5）的直線$l：\left\{{\begin{array}{l}{x=-3+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=-5+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C相交于點M，N兩點．
（1）求曲線C的平面直角坐標系方程和直線l的普通方程；
（2）求$\frac{1}{{|{PM}|}}+\frac{1}{{|{PN}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可求曲線C的平面直角坐標系方程和直線l的普通方程；
（2）將直線l的參數(shù)方程為程代入曲線C的直角坐標方程為y²=2x，利用參數(shù)的幾何意義，即可求$\frac{1}{{|{PM}|}}+\frac{1}{{|{PN}|}}$的值．

解答 解：（1）由ρsin²θ=2cosθ，得ρ²sin²θ=2ρcosθ，∴y²=2x．
即曲線C的直角坐標方程為y²=2x．
消去參數(shù)t，得直線l的普通方程x-y-2=0．
（2）將直線l的參數(shù)方程為程代入曲線C的直角坐標方程為y²=2x，
得${t^2}-12\sqrt{2}t+62=0$．
由韋達定理，得${t_1}+{t_2}=12\sqrt{2}$，t₁t₂=62，
所以t₁，t₂同為正數(shù)，
則$\frac{1}{{|{PM}|}}+\frac{1}{{|{PN}|}}$=$\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_1}=\frac{{{t_1}+{t_2}}}{{{t_1}{t_2}}}=\frac{{6\sqrt{2}}}{31}$．

點評 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查參數(shù)方程的運用，正確計算是關(guān)鍵．