Question

15．以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點M的直角坐標為（1，0），若直線l的極坐標方程為$\sqrt{2}$ρcos（θ+$\frac{π}{4}$）-1=0，曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）求直線l和曲線C的普通方程；
（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，求$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線l的極坐標方程化為ρcosθ-ρsinθ-1=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出直線l的普通方程；曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)能求出曲線C的普通方程．
（Ⅱ）點M的直角坐標為（1，0），點M在直線l上，求出直線l的參數(shù)方程，得到${t}^{2}-4\sqrt{2}t-8=0$，由此利用韋達定理能求出$\frac{1}{|MA|}+\frac{1}{|MB|}$的值．

解答 解：（Ⅰ）因為$\sqrt{2}\;ρcos（θ+\frac{π}{4}）-1=0$，
所以ρcosθ-ρsinθ-1=0
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得x-y-1=0…（3分）
因為$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}\right.$消去t得y²=4x，
所以直線l和曲線C的普通方程分別為x-y-1=0和y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）點M的直角坐標為（1，0），點M在直線l上，
設直線l的參數(shù)方程：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），A，B對應的參數(shù)為t₁，t₂．
${t}^{2}-4\sqrt{2}t-8=0$，
${t}_{1}+{t}_{2}=4\sqrt{2}，{t}_{1}{t}_{2}=-8$，…（7分）
∴$\frac{1}{|MA|}+\frac{1}{|MB|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{32+32}}{8}$=1．…（10分）

點評 本小題主要考查參數(shù)方程、極坐標等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想，是中檔題．