【題目】已知雙曲線的左,右焦點分別為,,點P為雙曲線C右支上異于頂點的一點,的內(nèi)切圓與x軸切于點,則a的值為______,若直線經(jīng)過線段的中點且垂直于線段,則雙曲線C的方程為________________.

【答案】2

【解析】

設點是雙曲線右支上一點,按雙曲線的定義,,設三角形的內(nèi)切圓心在軸上的投影為,分別為內(nèi)切圓與的切點.由同一點向圓引得兩條切線相等知,由此得到△的內(nèi)切圓的圓心橫坐標.即為,根據(jù)條件△為直角三角形,有,,所以在△,可求解.

是雙曲線右支上一點,由雙曲線的定義,可得,
若設三角形的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為,

該點也是內(nèi)切圓與軸的切點.設分別為內(nèi)切圓與的切點.

考慮到同一點向圓引的兩條切線相等:
則有:


,
所以內(nèi)切圓的圓心橫坐標為
由題意可得,

又直線經(jīng)過線段的中點且垂直于線段

得中點為,則 ,

所以直線與平行,則

,根據(jù)雙曲線的定義有:

則在直角三角形△中有:

解得:,所以

由勾股定理有,即

解得: ,所以

所以雙曲線方程為:

故答案為:2 .

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