已知函數(shù)
.
(1)求證:函數(shù)
在點
處的切線恒過定點,并求出定點坐標;
(2)若
在區(qū)間
上恒成立,求
的取值范圍;
(3)當
時,求證:在區(qū)間
上,滿足
恒成立的函數(shù)
有無窮多個.
解:(1)因為
,所以
在點
處的切線的斜率為
,
所以
在點
處的切線方程為
,……2分
整理得
,所以切線恒過定點
. ………4分
(2) 令
<0,對
恒成立,
因為
(*)
………………………………………………………………6分
令
,得極值點
,
,
①當
時,有
,即
時,在(
,+∞)上有
,
此時
在區(qū)間
上是增函數(shù),并且在該區(qū)間上有
∈
,不合題意;
②當
時,有
,同理可知,
在區(qū)間
上,有
∈
,
也不合題意; …………………………………………… 8分
③當
時,有
,此時在區(qū)間
上恒有
,
從而
在區(qū)間
上是減函數(shù);
要使
在此區(qū)間上恒成立,只須滿足
,
所以
.
綜上可知
的范圍是
. ……………………………………………12分
(3)當
時,
記
.
因為
,所以
在
上為增函數(shù),
所以
, ………………………………14分
設(shè)
, 則
,
所以在區(qū)間
上,滿足
恒成立的函數(shù)
有無窮多個.16分
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分16分)已知定義在
上的函數(shù)
,其中
為常數(shù).
(1)若
是函數(shù)
的一個極值點,求
的值;
(2)若函數(shù)
在區(qū)
間
上是增函數(shù),求
的取值范圍;
(3)若函數(shù)
,在
處取得最大值,求正數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(1
2分)若存在實數(shù)
和
,使得函數(shù)
與
對其定義域上的任意實數(shù)
分別滿足
:
,則稱直線
為
與
的“和諧直線”.已知
為自然對數(shù)的底數(shù));
(1)求
的極值;
(2)函數(shù)
是否存在和諧直線?若存在,求出此和諧直線方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(2)=0,當x>0時,有
恒成立,
則不等式
的解集是
A.(-2,0) ∪(2,+∞) | B.(-2,0) ∪(0,2) | C.(-∞,-2)∪(2,+∞) | D.(-∞,-2)∪(0,2) |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分13分) 已知函數(shù)
.
(Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間
其中a >0,上存在極
值,求實數(shù)a的取值范
圍;
(Ⅱ)如果當
時,不等式
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設(shè)函數(shù)
.
(1)求
的單調(diào)區(qū)間;
(2)當
時,若方程
在
上有兩個實數(shù)解,求實數(shù)t的取值范圍;
(3)證明:當m>n>0時,
.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
已知函數(shù)
,
,
,
,
,則數(shù)列
的前
項和是
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)
(1)若
的極值點,求a的值;
(2)若
時,函數(shù)
的圖象恒不在
的圖象下方,求實數(shù)a的取值范圍。
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