Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=5，n≥2時，a_n+1=5a_n-6a_n-1
（1）證明：數(shù)列{a_n+1-3a_n}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）試比較a_n與2n²+1的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）把已知數(shù)列遞推式變形可得a_n+1-3a_n=2（a_n-3a_n-1）（n≥2），又a₂-3a₁=5-3=2，可得數(shù)列{a_n+1-3a_n}是公比為2的等比數(shù)列，寫出等比數(shù)列的通項公式，可得
$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{3}{2}•\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}$，令$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=_{n}$，則$_{n+1}=\frac{3}{2}_{n}+\frac{1}{2}$，得到$_{n}=（\frac{3}{2}）^{n}-1$，從而求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）當n=1時，a_n＜2n²+1．當n≥2時，利用數(shù)學(xué)歸納法證得a_n≥2n²+1．

解答 （1）證明：由a_n+1=5a_n-6a_n-1，得a_n+1-3a_n=2a_n-6a_n-1，
∴a_n+1-3a_n=2（a_n-3a_n-1）（n≥2），又a₂-3a₁=5-3=2，
∴數(shù)列{a_n+1-3a_n}是公比為2的等比數(shù)列，
則${a}_{n+1}-3{a}_{n}=2•{2}^{n-1}={2}^{n}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{3}{2}•\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+\frac{1}{2}$，
令$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=_{n}$，則$_{n+1}=\frac{3}{2}_{n}+\frac{1}{2}$，
∴$_{n+1}+1=\frac{3}{2}（_{n}+1）$，
則$_{n}+1=（\frac{3}{2}）^{n}$，即$_{n}=（\frac{3}{2}）^{n}-1$，
∴${a}_{n}={2}^{n}[（\frac{3}{2}）^{n}-1]={3}^{n}-{2}^{n}$；
（2）解：當n=1時，${a}_{1}={3}^{1}-{2}^{1}=1$，2n²+1=3，a_n＜2n²+1．
當n≥2時，a_n≥2n²+1．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當n=2時，${a}_{2}={3}^{2}-{2}^{2}=5$，2n²+1=5，${a}_{n}=2{n}^{2}+1$，
當n=3時，a₃=3³-2³=21，2n²+1=19，${a}_{n}＞2{n}^{2}+1$；
假設(shè)當n=k時，a_k≥2k²+1，
那么，當n=k+1時，${a}_{k+1}=3{a}_{k}+{2}^{k}$≥3（2k²+1）+2^k．
∵3（2k²+1）+2^k-2（k+1）²-1=4k（k-1）+2^k＞0，
∴當n=k+1時，${a}_{k+1}≥2（k+1）^{2}+1$．
綜上，n≥2時，a_n≥2n²+1．
∴n=1時，a_n＜2n²+1；當n≥2時，a_n≥2n²+1．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，計算能力，是中檔題．