Question

在數(shù)列{a_n}中，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn2=an(Sn-

1

2

)
（1）求證{

1

Sn

}為等差數(shù)列，并求a_n；
（2）設(shè)b_n=

Sn

2n+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）是否存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意自然數(shù)n∈N^*，都有T_n＜

1

4

(m-8)成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用當(dāng)n≥2時(shí)，Sn2=an(Sn-

1

2

)，可得Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)，化簡(jiǎn)可得2=

1

Sn

-

1

Sn-1

，從而可以證明{

1

Sn

}為等差數(shù)列，并求出a_n；
（2）利用裂項(xiàng)法求和，即可得到結(jié)論；
（3）令T（x）=

x

2x+1

=

1

2

(1-

1

2x+1

)，則T（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，可得T_n＜

1

2

，從而可得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵當(dāng)n≥2時(shí)，Sn2=an(Sn-

1

2

)
∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-

1

2

)
∴2S_nS_n-1=S_n-1-S_n
∴2=

1

Sn

-

1

Sn-1

∵a₁=1，∴

1

S1

=1
∴{

1

Sn

}是1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴

1

Sn

=1+2(n-1)=2n-1
∴Sn=

1

2n-1

∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=-

2

(2n-1)(2n-3)

∵a₁=1，
∴a_n=

1，n=1 - 2 (2n-1)(2n-3) ，n≥2

；
（2）b_n=

Sn

2n+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

[1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

；
（3）令T（x）=

x

2x+1

=

1

2

(1-

1

2x+1

)，則T（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)
當(dāng)x≥1時(shí)，

1

3

≤T(x)＜

1

2

，∴T_n＜

1

2

令

1

4

(m-8)≥

1

2

，則m≥10，
∴存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意自然數(shù)n∈N^*，都有T_n＜

1

4

(m-8)成立，m的最小值為10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度中等．