Question

10．已知數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n，給出下列命題：
①若{a_n}是等差數(shù)列，則$（{10，\frac{{{S_{10}}}}{10}}），（{100，\frac{{{S_{100}}}}{100}}），（{110，\frac{{{S_{110}}}}{110}}）$三點(diǎn)共線；
②若{a_n}是等差數(shù)列，則${S_m}，{S_{2m}}-{S_m}，{S_{3m}}-{S_{2m}}（{m∈{N^*}}）$；
③若${a_1}=1，{S_{n+1}}=\frac{1}{2}{S_n}+2$，則數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
④若${a_{n+1}}^2={a_n}{a_{n+2}}$，則數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
其中證明題的序號(hào)是①②．

Answer 1

分析 ①根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和和一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷；
②若{a_n}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求出S_m、S_2m-S_m、S_3m-S_2m（m∈N^*）即可判斷是否是等差數(shù)列；
③首先，根據(jù)所給關(guān)系式，得到a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{3}{4}$，從而很容易判斷該數(shù)列不是等比數(shù)列．
④根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)和遞推公式進(jìn)行判斷．

解答 解：①∵等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n=na₁+$\frac{n（n-1）d}{2}$，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=（a₁-$\frac9vgakdn{2}$）+$\frac9uj9kmv{2}$n，
∴數(shù)列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}關(guān)于n的一次函數(shù)（d≠0）或常函數(shù)（d=0），故$（{10，\frac{{{S_{10}}}}{10}}），（{100，\frac{{{S_{100}}}}{100}}），（{110，\frac{{{S_{110}}}}{110}}）$三點(diǎn)共線，正確；
②設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公差為d，A=S_m，B=S_2m-S_m，C=S_3m-S_2m則
B=S_2m-S_m=a_m+1+a_m+2+…+a_2m，C=S_3m-S_2m=a_2m+1+a_2m+2+…+a_3m，
則B-A=a_m+1+a_m+2+…+a_2m-（a₁+a₂+…+a_m）=m²d，
C-B=a_2m+1+a_2m+2+…+a_3m-（a_m+1+a_m+2+…+a_2m）=m²d，
則B-A=C-B，即A，B，C成等差數(shù)列，
即${S_m}，{S_{2m}}-{S_m}，{S_{3m}}-{S_{2m}}（{m∈{N^*}}）$成等比數(shù)列，正確；
③∵S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，a₁=1，
∴a₁+a₂=$\frac{1}{2}$a₁+2，
解得a₂=$\frac{3}{2}$，
∴a₁+a₂+a₃=$\frac{1}{2}$（a₁+a₂）+2，即1+$\frac{3}{2}$+a₃=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{3}{2}$）+2，
解得a₃=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$≠$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$，
∴數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列，錯(cuò)誤；
④當(dāng)a_n=0時(shí)，${a_{n+1}}^2={a_n}{a_{n+2}}$成立，但是數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列，錯(cuò)誤；
故答案是：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，通過(guò)對(duì)數(shù)列的研究，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣．