如圖，在幾何體中，，,，且，.

（I）求證:；
（II）求二面角的余弦值.

（1）證明過程詳見解析；（2）.

解析試題分析：本題主要考查幾何體中的線線平行與垂直的判定、線面平行與垂直的判定，以及空間向量法求二面角等數(shù)學(xué)知識(shí)，考查空間想象能力和邏輯思維能力，考查基本計(jì)算能力.第一問，利用已知的邊長，得出與相似，從而得到與垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理得面，作出輔助線和及，通過條件可得，最后利用線面平行的判定證明平面；第二問，利用已知的垂直關(guān)系，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是求出平面和平面的法向量，利用夾角公式求出余弦值.
試題解析：（I）
又    ,
過點(diǎn)作，垂足為，則，且，     2分
過作，交于，過作交于，連結(jié)，
∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，
，
        6分

（II）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則

A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），
C（1，1，），=（0，﹣2，2），=（1，﹣1，），   8分
設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量為=（x，y，z），
則有，則﹣2y+2z=0，x﹣y+z=0，
取z=2，則y=2，x=0，所以=（0，2，2），       10分
平面AEC的一個(gè)法向量為=（﹣2，2，0），      11分
故cos＜，＞=                           12分
考點(diǎn)：1.相似三角形；2.線面垂直的判定；3.線面平行的判定；4.空間向量法.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥平面ABC,△ABC為正三角形，側(cè)面AA1C1C是正方形, E是的中點(diǎn),F是棱CC1上的點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，求正方形AA1C1C的邊長；
（2）當(dāng)A1F+FB最小時(shí)，求證：AE⊥平面A1FB.

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如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，.

(1)求直線與平面所成角的正弦值；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)？使得二面角的大小為60°，若存在，求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面底面，且△PAD為等腰直角三角形，，E、F分別為PC、BD的中點(diǎn).

（1）求證：EF//平面PAD；
（2）求證：平面平面 .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，矩形所在的平面與正方形所在的平面相互垂直，是的中點(diǎn).

（1）求證：∥平面；
（2）求證：平面⊥平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，邊長為2的菱形中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，將分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于點(diǎn).
                                          （1）求證:；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，是圓的直徑，垂直圓所在的平面，是圓上的點(diǎn)．

（1）求證：平面；
（2）設(shè)為的中點(diǎn)，為的重心，求證：//平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M為PC中點(diǎn)．求證：

（1）PA∥平面MDB；
（2）PD⊥BC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面為梯形,∥, ，平面,為的中點(diǎn)

（Ⅰ）證明：
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值

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