Question

7．已知二次函數(shù)f（x）的圖象過A（-1，0），B（3，0），C（1，-8）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若集合A={x|f（x）=a}有兩個不同的元素，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系數(shù)法設(shè)出二次函數(shù)的方程，利用代入法進(jìn)行求解即可．
（Ⅱ）根據(jù)集合有兩個不同的元素，等價為方程有兩個根，等價為y=a與y=f（x）有兩個解，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意設(shè)f（x）=a（x+1）（x-3）…（2分）
把C（1，-8）代入得a=2…（3分）
所以f（x）=2（x+1）（x-3）=2（x-1）²-8…（4分）
遞減區(qū)間：（-∞，1），遞增區(qū)間（1，+∞）…（6分）
（Ⅱ）因為集合A={x|f（x）=a}有兩個不同的元素，
所以直線y=a與f（x）的圖象有兩個不同的交點…（9分）．
所以a＞-8…（12分）．

點評 本題主要考查一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．