Question

19．已知拋物線C₁：y²=ax（a＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線C₂：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$的右焦點(diǎn)重合，記為F點(diǎn)，點(diǎn)M與點(diǎn)P（4，6）分別為曲線C₁，C₂上的點(diǎn)，則|MP|+|MF|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 8
• C． $\frac{13}{2}$
• D． $\frac{11}{2}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得出拋物線方程，設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|MF|=|MD|進(jìn)而把問題轉(zhuǎn)化為求|MP|+|MD|取得最小，進(jìn)而可推斷出當(dāng)D，M，P三點(diǎn)共線時(shí)|MP|+|MD|最小，答案可得．

解答 解：（4，6）代入雙曲線C₂：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$，可得$\frac{16}{4}-\frac{36}{^{2}}=1$，∴b²=12，
∴c=4，∴F（4，0），
∵拋物線C₁：y²=ax（a＞0）的焦點(diǎn)與雙曲線C₂：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1（{b＞0}）$的右焦點(diǎn)重合，
∴a=16，拋物線方程為y²=16x，
設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|MF|=|MD|，
∴要求|MP|+|MF|取得最小值，即求|MP|+|MD|取得最小，
當(dāng)D，M，P三點(diǎn)共線時(shí)|MP|+|MD|最小，為4+4=8．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當(dāng)D，M，P三點(diǎn)共線時(shí)|PM|+|MD|最小，是解題的關(guān)鍵．