Question

為保持水資源，宣傳節(jié)約用水，某校4名志愿者準(zhǔn)備去附近的甲、乙、丙三家公園進行宣傳活動，每名志愿者都可以從三家公園中隨機選擇一家，且每人的選擇相互獨立．
（Ⅰ）求4人恰好選擇了同一家公司的概率；
（Ⅱ）設(shè)選擇甲公園的志愿者的人數(shù)為X，試求X的分布列及期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）設(shè)“4人恰好選擇了同一家公司”為事件A，每名志愿者都有3種選擇，4名志愿者的選擇共有3⁴種等可能的情況，事件A所包含的等可能事件的個數(shù)為3，由此能求出4人恰好選擇了同一家公園的概率．
（Ⅱ）設(shè)“一名志愿者選擇甲公園”為事件C，則P（C）=

1

3

，4人中選擇甲公園的人數(shù)X可看作4次獨立重復(fù)試驗中事件C發(fā)生的次數(shù)，隨機變量X服從二項分布，X可取的值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)“4人恰好選擇了同一家公司”為事件A，
每名志愿者都有3種選擇，4名志愿者的選擇共有3⁴種等可能的情況，
事件A所包含的等可能事件的個數(shù)為3，
∴P（A）=

3

34

=

1

27

，
4人恰好選擇了同一家公園的概率為

1

27

．
（Ⅱ）設(shè)“一名志愿者選擇甲公園”為事件C，則P（C）=

1

3

，
4人中選擇甲公園的人數(shù)X可看作4次獨立重復(fù)試驗中事件C發(fā)生的次數(shù)，
∴隨機變量X服從二項分布，
X可取的值為0，1，2，3，4，
P（X=i）=

C

i 4

(

1

3

)i(

2

3

)4-i，i=0，1，2，3，4．
∴P（X=0）=(

2

3

)4=

16

81

，
P（X=1）=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

，
P（X=2）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

，
P（X=3）=

C

3 4

(

1

3

)3(

2

3

)=

8

81

，
P（X=4）=

C

4 4

(

1

3

)4=

1

81

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

EX=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

108

81

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時要認(rèn)真審題．